¿Cuando una solución es factible en el método simplex?

La Factibilidad en el Método Simplex: Una Condición Bifurcada

El Método Simplex, piedra angular de la programación lineal, nos permite encontrar la solución óptima a problemas de optimización sujetos a un conjunto de restricciones lineales. Sin embargo, antes de siquiera pensar en la optimización, es crucial comprender el concepto de factibilidad. Una solución factible es el punto de partida, la base sobre la cual se construye la búsqueda de la mejor alternativa.

Pero, ¿qué significa exactamente que una solución sea factible en el contexto del Método Simplex? No es suficiente que una solución simplemente “exista”. La factibilidad se define por el cumplimiento simultáneo de dos condiciones esenciales:

1. Satisfacción de las Restricciones:

El modelo de programación lineal se expresa a través de un sistema de ecuaciones, comúnmente representado como Ax = b, donde:

• A es la matriz de coeficientes tecnológicos.
• x es el vector de variables de decisión.
• b es el vector de recursos disponibles.

La primera condición para la factibilidad exige que la solución propuesta, el vector x, satisfaga rigurosamente este sistema de ecuaciones. En otras palabras, al sustituir los valores de las variables en las ecuaciones de restricción, estas deben cumplirse. Si alguna restricción se incumple, la solución es automáticamente inviable.

2. No Negatividad de las Variables:

Esta condición, a menudo subestimada, es tan fundamental como la anterior. En la mayoría de los problemas de programación lineal, las variables de decisión representan cantidades físicas, niveles de producción, asignación de recursos, etc. En la gran mayoría de los escenarios prácticos, estas cantidades no pueden ser negativas. Es decir, no se puede producir una cantidad negativa de un producto, ni asignar una cantidad negativa de recursos.

Por lo tanto, la segunda condición para la factibilidad requiere que todas las variables de la solución, es decir, todos los elementos del vector x, sean no negativos. Matemáticamente, esto se expresa como x ≥ 0. Si alguna variable toma un valor negativo, la solución, aunque pudiera satisfacer las restricciones del sistema Ax = b, se considera inviable en el contexto del problema real.

En Resumen:

La factibilidad en el Método Simplex no es una propiedad aislada, sino una condición compuesta. Una solución es factible únicamente si cumple simultáneamente las siguientes condiciones:

• Satisfacer las restricciones del problema (Ax = b).
• Todas sus variables son no negativas (x ≥ 0).

Es crucial comprender que la falta de cumplimiento de cualquiera de estas condiciones invalida la solución como factible. Un algoritmo Simplex solo puede operar correctamente con una solución factible inicial. Por lo tanto, la identificación y verificación de la factibilidad es un paso preliminar indispensable antes de iniciar el proceso de optimización. Si no existe una solución factible, el problema de programación lineal no tiene una solución viable en el mundo real, lo que requerirá una re-evaluación del modelo y de las restricciones planteadas.