¿Qué conjuntos son cuerpos?

¿Qué conjuntos son cuerpos?

En matemáticas, un cuerpo es una estructura algebraica que consiste en un conjunto no vacío junto con dos operaciones binarias (suma y multiplicación) que satisfacen ciertas propiedades.

Definición formal

Un cuerpo es un conjunto no vacío K junto con dos operaciones binarias, suma (+) y multiplicación (·), tales que para todos los elementos a, b y c en K, se cumplen las siguientes propiedades:

• Asociatividad de la suma: (a + b) + c = a + (b + c)
• Commutatividad de la suma: a + b = b + a
• Elemento neutro de la suma: Existe un elemento en K, denotado como 0, tal que para todo a en K, se tiene a + 0 = a.
• Elemento inverso de la suma: Para cada a en K, existe un elemento en K, denotado como -a, tal que a + (-a) = 0.

Asociatividad de la multiplicación: (a · b) · c = a · (b · c)

• Commutatividad de la multiplicación: a · b = b · a
• Elemento neutro de la multiplicación: Existe un elemento en K, denotado como 1 (distinto de 0), tal que para todo a en K, se tiene a · 1 = a.
• Elemento inverso de la multiplicación: Para cada a distinto de 0 en K, existe un elemento en K, denotado como a^-1, tal que a · a^-1 = 1.
• Distributividad de la multiplicación sobre la suma: a · (b + c) = a · b + a · c

Ejemplos de cuerpos

Algunos ejemplos de cuerpos incluyen:

• Conjunto de números reales: Los números reales ℝ forman un cuerpo con las operaciones de suma y multiplicación habituales.
• Conjunto de números racionales: Los números racionales ℚ también forman un cuerpo bajo las mismas operaciones.
• Conjunto de números complejos: Los números complejos ℂ forman un cuerpo con las operaciones de suma y multiplicación.
• Campos finitos: Un campo finito es un cuerpo con un número finito de elementos.

Propiedad clave

Una propiedad clave de los cuerpos es que cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo. Esto permite resolver ecuaciones lineales y cuadráticas en cuerpos.