¿Qué es una solución factible y una solución no degenerada en problemas de transporte?

Soluciones Factibles y No Degeneradas en Problemas de Transporte: Una Clarificación

El problema de transporte, un clásico de la investigación de operaciones, busca minimizar el costo total de transportar un bien desde múltiples orígenes (con oferta conocida) hasta múltiples destinos (con demanda conocida). Para encontrar la solución óptima, se emplean diversos métodos iterativos, como el método simplex o el método de Vogel. Sin embargo, antes de alcanzar la solución óptima, es crucial comprender dos conceptos fundamentales: la solución factible y la solución no degenerada. Su distinción impacta directamente en la eficiencia y la aplicabilidad de los algoritmos de solución.

Solución Factible: Satisfaciendo las Restricciones

Una solución factible en un problema de transporte es aquella que respeta todas las restricciones del problema. En términos concretos, esto significa que:

• Se satisface la demanda de todos los destinos: La cantidad total de unidades transportadas a cada destino debe igualar o superar su demanda.
• Se respeta la oferta de todos los orígenes: La cantidad total de unidades transportadas desde cada origen no puede exceder su oferta.

Una solución factible no implica necesariamente que sea la solución óptima (la que minimiza el costo total). Puede haber múltiples soluciones factibles, cada una con un costo diferente. La búsqueda de la solución óptima entre todas las soluciones factibles es el objetivo principal del problema de transporte. Imaginemos, por ejemplo, un problema con tres orígenes y dos destinos. Una asignación de transporte que respeta las ofertas y demandas, aunque sea ineficiente en términos de costos, representa una solución factible.

Solución No Degenerada: Manteniendo la Fluidez del Algoritmo

El concepto de solución no degenerada está intrínsecamente ligado a los métodos iterativos utilizados para resolver el problema de transporte. Estos métodos, como el método de esquina noroeste o el método de Vogel, construyen una solución inicial (factible) y luego iterativamente mejoran esta solución hasta alcanzar la óptima. En cada iteración, se trabaja con una solución básica, representada por una red de rutas utilizadas para el transporte. El número de rutas en esta solución básica está relacionado con el número de orígenes y destinos.

Una solución factible es no degenerada si, en cada iteración del método de transporte, es posible enviar una cantidad positiva a través de cada una de las rutas básicas. En otras palabras, todas las variables básicas (cantidades transportadas por cada ruta) tienen un valor mayor que cero.

En cambio, una solución factible es degenerada si, en alguna iteración, al menos una de las variables básicas de la solución tiene un valor igual a cero. Esta degeneración puede provocar problemas en los métodos iterativos, ya que puede bloquear el progreso del algoritmo, llevando a ciclos o a la imposibilidad de encontrar la solución óptima. Para evitar estas dificultades, se utilizan técnicas como el método de perturbación, que introduce pequeñas cantidades en las variables básicas para eliminar la degeneración.

En resumen, la condición de ser no degenerada garantiza una “fluidez” en el proceso iterativo de resolución, mientras que la condición de ser factible garantiza que la solución propuesta cumple con las restricciones físicas del problema. Ambos conceptos son esenciales para una correcta comprensión y resolución eficiente de problemas de transporte.