¿Qué variables tienen función de densidad?

Más allá de la Probabilidad Puntual: Explorando las Variables con Función de Densidad

En el fascinante mundo de la estadística, las variables aleatorias se clasifican en discretas y continuas. Mientras que las variables discretas toman valores específicos y contables (ej. número de caras al lanzar una moneda), las variables continuas poseen una característica fundamental: pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado. Esta cualidad es la que les permite tener una función de densidad de probabilidad (FDP), un concepto crucial para comprender su comportamiento.

Pero, ¿qué hace tan especial a una variable con FDP? La diferencia radica en la interpretación de la probabilidad. En una variable discreta, la probabilidad se asigna a cada valor individual. Lanzar un dado, por ejemplo, asigna una probabilidad de 1/6 a cada cara. Sin embargo, en una variable continua, la probabilidad de que la variable tome un valor específico es, en realidad, cero. Suena contradictorio, ¿verdad?

La clave está en comprender que la FDP no describe la probabilidad de un valor puntual, sino la probabilidad relativa de que la variable caiga dentro de un pequeño intervalo alrededor de ese punto. Imaginemos la altura de los estudiantes en una universidad. La probabilidad de que un estudiante mida exactamente 1.75 metros es prácticamente nula (considerando la precisión de la medición). En cambio, la FDP nos diría la probabilidad de que la altura de un estudiante se encuentre entre 1.74 y 1.76 metros. Es el área bajo la curva de la FDP, dentro de un intervalo específico, la que representa la probabilidad.

Por lo tanto, la función de densidad no nos proporciona la probabilidad en un punto, sino la densidad de probabilidad en ese punto. Una densidad alta indica una mayor probabilidad de encontrar valores cercanos a ese punto dentro de un intervalo pequeño. Visualmente, una FDP alta se representa con una curva más elevada. El área total bajo la curva de una FDP, sin embargo, siempre debe ser igual a 1, reflejando la certeza de que la variable tomará algún valor dentro de su rango.

Para ilustrar, consideremos la velocidad del viento en un lugar específico. Es una variable continua, pudiendo tomar cualquier valor dentro de un rango (0 km/h a, digamos, 150 km/h). Su FDP nos permitiría calcular la probabilidad de que la velocidad del viento se encuentre entre 20 y 30 km/h, por ejemplo, pero no la probabilidad de que sea exactamente 25 km/h.

En resumen, la función de densidad de probabilidad es una herramienta esencial para trabajar con variables continuas. Nos permite entender la distribución de probabilidad de estas variables, no a través de probabilidades puntuales, sino a través de la probabilidad relativa en intervalos, proporcionando una descripción más completa y realista del comportamiento de fenómenos aleatorios continuos en diversas áreas, desde la física y la ingeniería hasta la economía y las ciencias biológicas.