¿Qué variables tienen función de probabilidad y qué variables tienen función de densidad?

La Distinción Crucial: Funciones de Probabilidad vs. Funciones de Densidad

En el mundo de la estadística y la probabilidad, comprender la diferencia entre variables discretas y continuas es fundamental para el correcto análisis de datos. Esta distinción se refleja directamente en el tipo de función que utilizamos para describir su comportamiento: la función de probabilidad para variables discretas y la función de densidad de probabilidad para variables continuas. Si bien ambas funciones describen la probabilidad, lo hacen de manera cualitativamente diferente.

Las variables discretas, como su nombre lo indica, solo pueden tomar un número finito de valores o un número contable de valores dentro de un rango determinado. Imagine, por ejemplo, el número de caras obtenidas al lanzar una moneda tres veces (0, 1, 2, o 3 caras). O el número de coches que pasan por una determinada intersección en una hora. En estos casos, la función de probabilidad, denotada comúnmente como P(X=x), asigna directamente una probabilidad a cada valor específico que la variable puede asumir. La suma de todas las probabilidades asignadas por la función de probabilidad para todas las posibles realizaciones de la variable debe ser igual a 1. Es decir, ∑ P(X=x) = 1, donde la suma se extiende a todos los valores posibles de x.

Por otro lado, las variables continuas pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado. Considere la altura de los estudiantes en una clase, la temperatura en un día determinado, o el tiempo que tarda un corredor en completar una maratón. A diferencia de las variables discretas, no tiene sentido hablar de la probabilidad de que la variable tome un valor específico. La probabilidad de que un corredor tarde exactamente 3 horas, 2 minutos y 15.78 segundos en completar una maratón es, en la práctica, cero. En lugar de una función de probabilidad, utilizamos una función de densidad de probabilidad, denotada comúnmente como f(x). Esta función no proporciona directamente la probabilidad de un valor específico, sino que describe la probabilidad relativa de la variable en un intervalo dado. La probabilidad de que la variable se encuentre dentro de un intervalo [a, b] se calcula mediante la integral de la función de densidad de probabilidad sobre ese intervalo: P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx. La integral de la función de densidad de probabilidad sobre todo su dominio debe ser igual a 1: ∫_-∞^∞ f(x) dx = 1.

En resumen, la clave para determinar qué tipo de función utilizar reside en la naturaleza de la variable: si la variable es discreta, se utiliza una función de probabilidad; si es continua, se utiliza una función de densidad de probabilidad. Esta distinción fundamental permite un análisis probabilístico preciso y adecuado a las características específicas de los datos. La comprensión de esta diferencia es esencial para la correcta interpretación y aplicación de los métodos estadísticos.