¿Cómo probar que es base?

Cómo Demostrar que un Conjunto de Vectores Forma una Base

En álgebra lineal, una base es un conjunto de vectores linealmente independientes que genera un espacio vectorial. Para demostrar que un conjunto de vectores forma una base, existen dos enfoques principales que son equivalentes en este caso:

1. Verificar la Independencia Lineal

Para verificar la independencia lineal, se debe demostrar que ningún vector del conjunto puede expresarse como una combinación lineal de los demás vectores. Esto implica resolver el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo:

c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₙvₙ = 0

donde c₁,…, cₙ son escalares y v₁,…, vₙ son los vectores del conjunto. Si el único conjunto de soluciones es c₁ = c₂ = … = cₙ = 0, los vectores son linealmente independientes.

2. Verificar que Generan el Espacio Vectorial

Para demostrar que los vectores generan el espacio vectorial, se debe mostrar que cualquier vector en el espacio puede expresarse como una combinación lineal de los vectores del conjunto. Esto implica demostrar que el subespacio vectorial generado por los vectores es igual al espacio vectorial completo.

Si el número de vectores en el conjunto es igual a la dimensión del espacio vectorial, entonces verificar cualquiera de estas dos condiciones demuestra que el conjunto forma una base. Ambas condiciones son equivalentes en este escenario porque si los vectores son linealmente independientes, entonces también generan el espacio, y viceversa.